단조 수렴 정리(Monotone Convergence Theorem) 증명: 유계인 증가수열이 수렴하는 이유

단조 수렴 정리(Monotone Convergence Theorem) 증명: 유계인 증가수열이 수렴하는 이유

 

단조수렴정리에 대해 알아보겠습니다. 단조수렴정리를 통해 유계인 단조수열은 수렴한다는 사실을 알 수 있습니다. 즉 유계인데 증가혹은 감소하는 수열은 무조건 수렴한다는 얘기이죠. 생각해보면 그럴싸합니다. 예를들어 유계인 증가수열이 있다고 해봅시다. 아무리 증가해도 유계이기 때문에 증가할 수 있는 범위가 정해지죠. 어느 순간엔 멈추고 수렴해야 할것 같습니다. 단조수렴정리는 위와 같은 사실을 정당화 하는 증명입니다.

 

목차

·단조수렴정리

·단조수열

  -단조증가수열

  -단조감소수열

·유계의 의미

  -상한 (supremum)

  -하한 (infimum)

·단조수렴정리 증명

 

단조 수렴 정리 (Monotone Convergence Theorem)

"유계인 단조수열 (Bounded monotone sequence) $a_n$는 수렴한다."

 

그러면 이제 유계라는 의미와 단조수열의 의미를 알아야 겠지요. 먼저 단조수열의 정의에 대해 알아보겠습니다.

 

단조수열(Monotone Sequence)의 정의

단조수열(Monotone Sequence)란 단조증가수열 혹은 단조감소수열을 의미합니다. 단조증가수열과 단조감소수열의 정의는 아래에 잘 나와있습니다.

단조증가수열(Monotone Increasing Sequence)의 정의

$a_{n} \leq a_{n+1}$인 수열 $a_n$을 단조증가수열이라고 부릅니다. $n$이 커질수록 $a_n$이 커지는 수열이죠.

단조감소수열(Monotone Decreasing Sequence)의 정의

$a_{n} \geq a_{n+1}$인 수열 $a_n$을 단조감소수열이라고 부릅니다. $n$이 커질수록 $a_n$이 작아지는 수열이죠.

 

유계(bounded)의 의미

유계(bounded)의 의미는 어떤 테두리(bound)가 있다는 의미입니다. 경계라는 의미라고도 볼 수 있어요. bounded의 의미는 실수의 부분 집합 $A$에 대해서 정의됩니다. 만약 어떤 $M>0$이 존재하여 모든 $a\in A$에 대해 $|a| \leq M$이면 집합 $A$는 유계라고 부릅니다. 집합 $A$의 원소들이이 가질 수 있는 값의 범위가 정해져있따는 의미이죠. 수열의 경우에도 비슷하게 수열 $a_n$이 가질 수 있는 모든 값을 모아둔 집합 $\{a_n | n=1,2,...\}$이 유계이면 이 수열 $a_n$은 유계라고 부릅니다.

 

 

집합 A가 유계라고 하면 어쨋든 $A$의 값이 아래로도 한계가 있고 위로도 한계가 있다는 의미인데요. 아래를 만족하죠.

$$m \leq a \leq M, \text{ for all } a \in A$$

여기서 $M$,$m$과 을 각각 집합 A의 Upper bound 집합 A의 lower bound라고 부릅니다. A의 원소의 값을 위에서 경계를 짓기 때문에 Upper bound라고 부르고 A의 원소의 값을 아래에서 경계를 짓기 때문에 Lower bound라고 부릅니다.

 

상한 (supremum)의 의미

집합 $A$의 Upper bound 중에서 최소값을 $A$의 상한 (supremum)이라고 부릅니다.

$$sup(A) = \min\{ M | a \leq M \text{ for all } a \in A\}$$

 

하한 (infimum)의 의미

집합 $A$의 Lower bound 중에서 최대값을 $A$의 하한 (infimum)이라고 부릅니다.

$$inf(A) = \max\{ m | a \geq m \text{ for all } a \in A\}$$

 

상한 (supremum)의 성질

집합 $A$의 상한의 성질에 대해 알아보겠습니다. $s = sup(A)$를 집합 $A$의 상한이라고 한다면 아래가 성립합니다. 

$$ \text{ 모든 $\epsilon >0$ 에 대하여 }  s- \epsilon < a \leq s \text{ 인 원소 } a \in A \text{ 가 존재한다.}$$

(증명) 귀류법을 사용하기 위해 부정을 하면 아래와 같이 가정됩니다.

$$ \text{ 특정 $\epsilon >0$이 존재하여  모든 $a\in A$에 대하여 }  a \leq s- \epsilon $$

이렇게 되면 $s-\epsilon$은 $A$의 upper bound가 됩니다. 그런데 $s$는 upperbound중에 최소값인데 그것보다 더 작은 upperbound $s-\epsilon$이 존재하므로, 모순이 발생합니다. 따라서 증명 완료!

하한 (infimum)의 성질

상한과 비슷하게 하한도 비슷한 성질을 갖습니다. $i= \inf(A)$라고 한다면!

$$ \text{ 모든 $\epsilon >0$ 에 대하여 }  i \leq  a < i+ \epsilon \text{ 인 원소 } a \in A \text{ 가 존재한다.}$$

 

단조수렴정리 증명

이제 단조수렴정리를 증명해보겠습니다. 단조감소수열 $a_n$의 경우 -1 만 곱하면 $-a_n$이 단조증가수열이 되기 때문에, $a_n$이 단조증가수열이고 가정하고 증명해보겠습니다. 

(증명) $a_n$이 유계이므로 상한이 존재하고 상한은 $s=\sup \{a_1,a_2,...,\}$이라고 하자. 상한의 성질에 의해 임의의 $\epsilon>0$에 대하여 $N$이 존재해서 다음을 만족한다.

$$ s-\epsilon < a_N \leq s$$

그런데 $a_n$은 단조증가수열이고 $s$는 상한이므로 $n\geq N$일 때 다음을 만족한다.

$$ s-\epsilon < a_N \leq a_n \leq s$$

따라서 $n\to \infty $일 때 $a_n \to s$이다. (증명끝)

 

증명에서 보다시피 유계 단조수열은 결국 상한(supremum)으로 수렴합니다. 단조감소수열에 대해서도 비슷한 식으로 증명할 수 있고 유계 단조감소수열은 하한(infimum)으로 수렴합니다.

 

단조수렴정리 활용

1. 수열 $a_n = 1/n$은 감소수열이고 $0\leq a_n$이고 $0 = \inf \{ 1/n | n =1,2,...\}$이므로 

$$\lim_{n\to0} 1/n = 0$$

2. 유계인 수열 $a_n$이 수렴하지 않는다면 수열 $a_n$은 단조수열이 아니다. 예시) $(-1)^n$

3. 단조증가수열은 유계라면 수렴하고 유계가 아니면 발산한다. 이 사실은 단조수렴정리보다는 단조증가수열의 특성이라고 볼 수 있겠네요.