안녕하세요? 미적분학에서 등장하는 개념인 전미분 (total differential)에 대해 알아보도록 하겠습니다. 전미분은 함수의 선형근사라고 보면 되겠습니다. 함수의 그래프가 2차원 평면에 놓였다면 이때 전미분은 그래프의 접선이 되겠고 3차원 평면에 놓였다면 이 함수의 전미분은 접평면이 되겠습니다. 왜 그런지는 접평면의 정의와 함께 알아보도록 하겠습니다.
[미적분학] 전미분 (total differential): 함수의 선형 근사
이제 본격적으로 얘기를 해보겠습니다. 전미분은 함수 $z=f(x_1,x_2,...,x_n)$에 대해 정의됩니다. 여기서 입력 $(x_1,..,x_n)$은 n차원 벡터이고 출력값 $z$는 스칼라임을 기억해 두세요. 그리고 미분 (differentiation)을 이용해서 전미분 (total differential)을 정의하기 때문에 $f(x_1,..,x_n)$라는 함수는 미분이 가능한 부드러운 형태라고 가정하겠습니다.
전미분 (total differential)의 정의
앞에서 언급한 함수 $z=f(x_1,x_2,...,x_n)$의 전미분에 대해 정의해보겠습니다. 함수 $z=f(x_1,...,x_n)$의 점 $(x_1,...,x_n)$에서의 전미분은 아래와 같이 정의됩니다.
$$dz = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} (x_1,..,x_n) dx_i \tag{1}\label{td}$$
사실 위의 식 ($\ref{td}$)만을 보면 전미분이 무엇을 의미하는지 알기가 어렵습니다. 과연 이 전미분이 무엇인지는 구체적인 사례를 본다면 전미분의 의미를 알 수 있습니다.
함수 $y=f(x)$의 전미분으로 본 해석
함수 $y=f(x)$의 $x=x^*$에서 접선의 방정식부터 생각해 봅시다. $x=x^*$에서 접선의 방정식은 아래와 같죠. 이때 $y^*$ 는 $x=x^*$에서 함수의 값을 의미합니다. $y^* = f(x^*)$라는 의미이죠.
$$ y - y^* = \frac{df}{dx} (x^*) (x-x^*) \tag{2}\label{perpline}$$
접선은 아래와 같이 함수의 그래프에 딱 달라붙은 직선을 의미합니다.
접선이 함수의 그래프와 접하는 점이 $x=x*$인데요 $x*$에서 조금 벗어난 점 $x*+dx$에서의 함숫값을 구하려면 실제로는 $f(x^*+dx)$를 구하면 되지만요. 그대신에 접선을 이용해 $f(x^*+dx)$의 값을 근사할 수 있습니다. 접선 식 ($\ref{perpline}$) 의 $x$자리에 $x=x*+dx$를 넣는 다면 아래와 같이 식이 되지요.
$$y - y^* = \frac{df}{dx} (x^*) dx $$
여기서 $dy = y-y^*$라 정의한다면 아래와 같이 전미분 형태를 갖게 됩니다.
$$dy = \frac{df}{dx} (x^*) dx \tag{3}\label{td_1d}$$
$dx$가 굉장히 작다면 전미분 (여기선 접선)을 이용해서 함수 $f$의 변화량을 근사할 수 있습니다. 접선이라는 선형근사를 이용해 $f$의 변화를 근사하고 있죠.
$$ f(x^*+dx) - f(x^*) \approx dy$$
$y=f(x)$ 전미분 예시
예시를 들어 설명해 보겠습니다. $f(x)=x^2$일 때 $f(x)$의 전미분은 아래와 같이 구할 수 있습니다.
$$dy = \frac{df}{dx}(x) dx = 2xdx$$
함수 $z=f(x,y)$의 전미분으로 본 해석
이제 이변수 함수 $z=f(x,y)$를 이용해 전미분을 해석해 보겠습니다.
이경우에도 접선의 경우와 비슷하게 접평면을 구할 수 있습니다. $x=x*, y=y*, z* = f(x*,y*)$일 때 $f(x,y)$의 접평면 식은 아래와 같습니다.
$$ z-z* = \frac{\partial f}{\partial x}(x*,y*) (x-x*) + \frac{\partial f}{\partial y} (x*,y*) (y-y*)$$
접선의 경우와 마찬가지로 $dx$와 $dy$가 무진장 작을 때 $x=x*+dx, y=y*+dy$를 접평면의 방정식에 집어넣으면 아래와 같이 전미분의 꼴이 나옵니다.
$$ dz = \frac{\partial f}{\partial x}(x*,y*) dx + \frac{\partial f}{\partial y} (x*,y*) dy $$
접선의 경우와 마찬가지로 전미분 (접평면)을 이용해서 특정점 주변의 변화를 근사합니다. 접평면은 선형이기 때문에 마찬가지로 선형근사식이 되겠네요
$$f(x*+dx, y*+dy) - f(x*,y*) \approx dz $$
$z=f(x,y)$ 전미분 예시
함수 $z=f(x,y)$, $f(x,y)= x^2+y^2$의 전미분을 구해보겠습니다. $\frac{\partial f}{\partial x} (x,y) = 2x, \frac{\partial f}{\partial y} (x,y)=2y$이므로 이 함수의 전미분은 아래와 같습니다.
$$dz = 2x dx + 2y dy$$
함수 $z = f(x_1,..x_n)$의 전미분 해석
일반적인 함수에 대한 전미분을 해석해 보겠습니다. $z = f(x_1,..x_n)$의 입력이 약간 변할 때 함숫값의 변화$f(x_1+dx_1,..x_n+dx_n)-f(x_1,...,x_n)$를 선형적으로 근사하기 위하여 전미분을 사용합니다.
$$ f(x_1+dx_1,..x_n+dx_n)-f(x_1,...,x_n) \approx dz$$
정리
함수의 전미분에 대해 알아보았습니다. 전미분은 함수의 변화를 근사하기 위해서 만들어진 개념입니다. 근사를 하는데 접선이나 접평면등의 만만한 선형식으로 근사한다는 것에 의미가 있습니다.