아르키메데스의 정리 (Archimedean's principle)에 대해 알려 드리겠습니다. 결론부터 말하면 아르키메데스의 정리는 어떠한 실수보다 더 큰 자연수가 존재한다는 의미입니다. 이번 글에서는 아르키메데스 정리에 대해 보고요! 아르키메데스 정리 증명 방법도 보겠습니다.
아르키메데스의 정리
양의 실수 $a,b$가 있습니다. 그럴 때 아래를 만족하는 $n \in \mathbf{N}$이 존재한다는 것이 아르키메데스의 정리입니다.
$$n \times a > b \tag{1}\label{1} $$
아르키메데스 정리의 증명
(증명) 아르키메데스 정리의 증명을 해보겠습니다. 실수 $a>0, b>0$이 있다고 합시다. 귀류법을 사용하기 위하여 모든 자연수 $n\in \mathbf{N}$에 대하여 $$ n a \leq b $$라고 정의합시다. 그러면 $A = \{ na | n \in \mathbf{N} \}$의 upper bound([해석학] Upper bound (상계), Lower bound (하계), upper bounded (위로 유계), lower bound (아래로 유계)) 는 $b$가 되겠고 $A$는 upper bounded 이네요. 따라서 $s := \sup (A)$가 존재합니다 ([해석학] 실수의 Supremum (상한,최소상계), infimum (하한,최대하계)의 정의 및 예시). supremum 의 성질에 의해 아래를 만족하는 $m \in \mathbf{N}$이 존재합니다. ([해석학] 유용한 Supremum (상한), infimum (하한) 의 성질)
$$ s-a< ma \leq s $$
위의 식에 $a$를 더해주면 식이 아래와 같이 바뀌죠
$$ s < ma+a = (m+1)a$$
근데 여기서 $(m+1)a \in A$이네요. 그리고 $s = \sup(A)$이죠. 그런데 $s < (m+1)a$이네요. supremum 이 원소보다 작으니까 모순이 발생합니다. 따라서 (증명 완료)
아르키메데스 정리의 응용
아르키메데스 정리의 응용에는 두가지가 있습니다. $(\ref{1})$에서 $a=1$이라면, 아래를 만족하는 $n\in \mathbf{N}$이 존재합니다.
$$ n > b$$
이것의 의미는 $b$가 아무리 크더라도 그것보다 큰 자연수가 존재한다는 의미입니다.
또는 $(\ref{1})$에서 $a=\epsilon > 0, b=1$이라고 합시다. 그러면 아래의 수식을 만족하는 $n \in \mathbf{N}$이 존재합니다.
$$ n \epsilon > 1 \Leftrightarrow 1/n < \epsilon$$
위의 식의 의미는 어떤 작은 실수 $\epsilon >0$이 있더라도 자연수를 이용해 그것보다 더 작게 만들 수 있다는 의미입니다.