안녕하세요. 여러분들! 이번글에서는 실수의 부분집합의 supremum (상한) 과 infimum (하한)에 대해 알아보겠습니다. 상한과 하한은 무엇일까요? 결론부터 말하면 상한은 상계중 최소값이고 하한은 하계중 최대값을 의미합니다. 더 자세한 내용은 글을 진행하면서 보도록 하겠습니다.
[해석학] 실수의 Supremum (상한), infimum (하한)의 정의 및 예시
미리 읽어야 하는 글
[해석학] Upper bound (상계), Lower bound (하계), upper bounded (위로 유계), lower bound (아래로 유계)
목차
supremum(상한)의 정의
supremum(상한)의 예시
infimum(하한)의 정의
infimum(하한)의 예시
supremum(상한)의 정의
실수의 부분집합 $A$가 있다고 합시다. 그럴 때 집합 $A$가 upper bounded라고 가정합시다. 그러면 upper bound를 모아둔 집합 $U(A) = \{ r | a \leq r \text{ for all } a \in A \}$ 이 있습니다. $A$의 upper bound 중 가장 작은 upper bound를 A의 supremum (상한, 최소상계) 이라고 부릅니다. upper bound중 최소값이라는 의미에서 최소상계라는 말이 쓰입니다.
$$\sup(A) = \min U(f)$$
supremum(상한)의 예시
집합 $A= \{ 1- 1/n | n \in \mathbf{N}$이 있다고 합시다. 그러면 전에 글([해석학] Upper bound (상계), Lower bound (하계), upper bounded (위로 유계), lower bound (아래로 유계))에서 봤듯이 집합 $A$는 upper bounded 입니다. 그런데 구해보면 알겠지만 $$\sup(A) = 1$$인것을 쉽게 구할 수 있습니다.
infimum(하한)의 정의
실수의 부분집합 $A$가 있다고 합시다. 그럴 때 집합 $A$가 lower bounded라고 가정합시다. 그러면 lower bound를 모아둔 집합 $L(A) = \{ r | a \geq r \text{ for all } a \in A \}$ 이 있습니다. $A$의 lower bound 중 가장 큰 lower bound를 A의 infimum (하한, 최대하계) 이라고 부릅니다. lower bound중 최대값이라는 의미에서 최대하계라는 말이 쓰입니다.
$$\inf(A) = \max L(f)$$
infimum(하한)의 예시
집합 $A= \{ 1/n | n \in \mathbf{N}$이 있다고 합시다. 그러면 전에 글([해석학] Upper bound (상계), Lower bound (하계), upper bounded (위로 유계), lower bound (아래로 유계))에서 봤듯이 집합 $A$는 lower bounded 입니다. 그런데 구해보면 알겠지만 $$\inf(A) = 1$$인것을 쉽게 구할 수 있습니다.