안녕하세요. 이번에는 실수의 부분집합에 대해 upper bound (상계), lower bound (하계), upper bounded (위로 유계), lower bounded (아래로 유계) 의 개념을 알아보도록 하겠습니다. 아주 간단하지만 중요한 개념입니다. 여러분들 금방 이해하실겁니다. 여러분들 이제 알아보겠습니다.
[해석학] Upper bound (상계), Lower bound (하계), upper bounded (위로 유계), lower bound (아래로 유계)
upper bound, lower bound 등은 집합 $A$의 범위를 지정해주는 개념입니다. !
Upper bound (상계), Upper bounded (위로 유계)
실수의 공집합이 아닌 부분집합 $A$가 있다고 합시다. 만약에 어떤 실수 $r$이 존재하여 아래를 만족하면
$$a \leq r \text{ for all } a \in A$$
$A$는 upper bounded (위로 유계)라고 부릅니다. 그리고 이러한 원소 $r$을 $A$의 upper bound 라고 부릅니다.
예를들어 집합 $A=\{1- 1/n | n \in \mathbf{N} \}$이라고 합시다. 그러면 $1-1/n \leq 1$이니까 집합 $A$는 upper bounded라는 것을 알 수 있습니다. 그리고 1이 집합 $A$의 upper bound라는 것을 알 수 있죠. 1과 유사하게 1보다 큰 $r$에 대하여 $1-1/n \leq 1 \leq r$이니까 1보다 큰 실수 $r$은 집합 $A$의 upper bound라는 것을 알 수 있습니다.
Lower bound (하계), Lower bounded (아래로 유계)
실수의 공집합이 아닌 부분집합 $A$가 있다고 합시다. 만약에 어떤 실수 $r$이 존재하여 아래를 만족하면
$$a \geq r \text{ for all } a \in A$$
$A$는 lower bounded (아래로 유계)라고 부릅니다. 그리고 이러한 원소 $r$을 $A$의 lower bound 라고 부릅니다.
예를들어 집합 $A=\{1/n | n \in \mathbf{N} \}$이라고 합시다. 그러면 $1/n \geq 0$이니까 집합 $A$는 lower bounded라는 것을 알 수 있습니다. 그리고 0이 집합 $A$의 lower bound라는 것을 알 수 있죠. 0과 유사하게 0보다 작은 $r$에 대하여 $1/n \geq 0 \geq r$이니까 0보다 작은 실수 $r$은 집합 $A$의 lower bound라는 것을 알 수 있습니다.